(13)2025年高考岳阳市二模数学第16题

已知函数

f(x)=1/2x²-(a+2)x+2alnx(a∈R),

(1）当a=-3时，求函数f(x)的极值；

(2）讨论函数f(x)的单调性．

解析: (1）当a=-3时，

f(x)=1/2x²+x-6Inx( x >0),

∴f'(x)=x+1-6/x

=(x²+x-6)/x

=(x+3)(x-2)/x,

设f'( x )<0，解得0< x <2，

设f'( x )>0，解得 x >2，

∴ f(x)在区间(0, 2)上单调递减，

在区间(2,+∞)上单调递增。

∴ f(x)的极小值为f(2)=4-6In2，

无极大值.

(2) x ∈(0,+∞),

f'(x)=x-(a+2)+2a/x

=[x²-( a +2)x +2a]/x

=( x - a )( x -2)/x ,

当 a ≤0时，

由 f'( x )<0，得0< x <2，

由 f'( x )>0，得 x >2,

∴ f₂(x)在(0, 2）上单调递减，

在(2, +∞）上单调递增,

当0< a <2时，

由 f '( x )<0，

得 a < x <2；

由 f '( x )>0，

得0< x < a 或 x >2,

∴f(x)在区间(a , 2)上单调递减，

在(0, a)和(2,+∞)上单调递增,

当a=2时， f'(x)=( x -2)²/x≥0

对任意的 x >0 恒成立，

此时， f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当 a >2时，

由 f'( x )<0,

得 2< x < a ，

由 f'( x )>0，

得0< x <2或 x > a ,

此时, f(x)在区间(2, a)上单调递减，

在(0, 2)和(a ,+∞)上单调递增。

综上可知，

当 a ≤0时，

f ( x ）在（0, 2)上单调递减，

在（2,+∞）上单调递增；

当0< a <2时,

f ( x ）在（ a ,2）上单调递减,

在(0, a）和（2,+∞）上单调递增；

当 a =2时，

f ( x ）在（0,+∞）上单调递增；

当 a >2时，

f ( x ）在（2, a ）上单调递减，

在（0, 2)和(a ,+∞)单调递增

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